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华罗庚是国际上享有盛誉的数学家，他的研究领域涉及多元复变数函数、数论、代数及应用数学等，在每一个领域都取得了杰出的成果，有许多以他的名字命名的定理、引理、不等式、算子与方法，并培养了一批优秀的学生。1956年获得国家自然科学奖一等奖，1990年与王元共获陈嘉庚物质科学奖。他被选为美国科学院国外院士、第三世界科学院院士、联邦德国巴伐利亚科学院院士，被法国南锡大学、香港中文大学与美国伊利诺伊大学授予荣誉博士学位。2002年美国科学院出版了华罗庚传。
已故数学大师华罗庚院士是中国科学院数学研究所的创始人。他关于典型域上多元复变数函数论的研究，于1956年获得第一届国家自然科学奖一等奖。 华罗庚1958年在科学出版社出版了《多复变函数论中典型域上的调和分析》一书。此书的初稿完成于1954年，是申请一等奖的依据。此书一出版就引起了国际上的高度重视。首先是苏联科学院Steklov数学研究所于同年来函要求将此书翻译成俄文出版（但由于苏联人同时精通中文及数学的不多，请华罗庚先译成英文，再由他们译成俄文出版）。英文版是1963年从俄文版再翻译成英文，由美国数学会出版的。英文版出版后，此书受到国际数学界的普遍关注和高度评价，成为该领域研究的必然要引用的书籍。丘成桐教授（菲尔兹奖、瑞典科学院卡拉夫奖、美国国家科学奖获得者）说，华罗庚这方面的研究成果领先世界十年。
华罗庚对多元复变函数的研究始于40年代抗战时期。当时的昆明西南联合大学，条件非常艰苦，华罗庚住在人畜共舍的牛棚楼上。白天日寇飞机经常来轰炸，空袭时华罗庚仍在防空洞里看资料。他想把单复变数的自守函数理论推广到多元复变函数。有一次日机的炸弹将防空洞炸塌，把他和正在看的书埋在土中，听说是段学复（现北京大学教授、中国科学院院士）把他和书从泥土中挖出来的。这本书是德文的单复变数自守函数的书�；薷庵至傥２痪�、专心研究的精神，实为后世科学研究者的楷模。
与此同时，在大洋彼岸的普林斯顿，有一位因不满法西斯排犹而离开德国的大数学家及天体力学家西格尔，也想把单复变数的自守函数理论推广到多复变数。由于单复变数的自守函数的主要理论是在单位圆内讨论，他们不约而同地考虑与单位圆最相近的有界对称域上的自守函数理论。在有界对称域上，多复变数可用矩阵来表示，便于构造自守函数的级数表达及其基本域。此外，单复变数的自守函数论与单位圆的非欧几何密切相关，所以他们也就不约而同地从研究典型域的几何开始。西格尔这方面的第一篇文章“辛几何”1943年发表在《美国数学年刊》，华罗庚的文章“矩阵变数的自守函数论”1944年发表在同一期刊。实际上，两人差不多是同时投稿，但华罗庚的稿件在二战时期从昆明寄到美国要历经几个月。西格尔后来把注意力转向天体力学，不过他研究天体力学的方法是源出于他“辛几何”的文章。辛几何是现在国际上最热门的几何研究方向之一。
1997年获国家自然科学一等奖的已故院士冯康，曾对笔者说，他关于辛算法的工作与西格尔的天体力学及华罗庚发表在《美国数学会集刊》上的文章“在辛群下超圆的分类”有密切关系。战后西格尔回德，受到德国科学界的高度尊敬。他在60年代写过三卷“函数论”讲义，其中引用华罗庚及其学生的文章有十几篇之多。
华罗庚战后去美国，继续研究多复变函数。他1946年在美国《数学年刊》上发表的文章“多复变函数的自守函数”成为经典著作，为研究自守函数的名家所必引用。多复变数自守函数理论现已发展成为现代数学最重要的研究方向之一。解决费马大定理的威尔士，曾在Langland的讨论班中获益匪浅。而Langland就是目前多复变数自守函数的权威人士，他在普林斯顿高等研究所主持的讨论班，一直是围绕着多变数的自守形式（自守函数的推广）进行。此外，华罗庚在上述文章中引进了一个微分度量，现在被称为华罗庚度量。
华罗庚于1950年毅然回国，当时才40岁，正值盛年。新中国成立后的最初十年，是他精力最充沛的十年，主要从事的研究仍然是多复变函数。他的主要工作之一就是多复变数典型域上的调和分析。
富氏分析是最早的调和分析，问世以来在工程与物理领域有广泛的应用，数学家也进行了深入的研究。人们自然会考虑把富氏分析推广到多个变数，或者把微分方程推广为算子的情形。在实际应用上也有此需要，例如量子力学要考虑算子特征值与特征向量。
在华罗庚之前，富氏分析的推广多是平行推广，如考虑多个单位圆周的拓扑积情形，或抽象地证明某些空间的完备正交归一系的存在。这对实际的应用是远远不够的。如上所述，华罗庚早就认识到单变数的自守函数的推广是典型域上的自守函数。同样，他认为单位圆上的调和分析的推广是典型域上的调和分析。他用群表示理论具体构造了典型域上的绝对值平方可积全纯函数的一组完备正交归一函数系。群表示论与正交系的关系并非华罗庚首先发现，但能够具体地找出非显然的例子的所有不可约表示并计算其正交化所需的各种常数，应是始于华罗庚在50年代初期的工作。这使得调和分析在60年代热门起来。
调和分析领域的权威、普林斯顿大学教授斯坦，在一次学术会议上，当着华罗庚和他的学生的面说，“我是华的名誉学生”。他是使华罗庚成为美国科学院外籍院士的推荐人之一。
华罗庚在把一个表示化为适合所需条件的不可约表示时，使用了两个奇妙的代数恒等式。他是怎样想出这两个恒等式的，笔者只能惊叹他是天才。但华罗庚从不认为自己是天才，这只好归于他有敏锐的数学直觉。此外，正交归一化所需的常数要用到很多矩阵积分的计算，他以惊人的技巧把许多复杂的矩阵积分计算出来。这些技巧后来被理论物理学家广为应用。
在谈到矩阵积分时，不能不说到他引进的矩阵极坐标。最初他是为了计算矩阵积分而引进的，但后来发现体积元素的矩阵极坐标的表达式与李代数根系的计算有密切关系，使后人对一些根系的计算变得大为容易。矩阵极坐标对于对称空间的几何研究也十分有用。
华罗庚用典型域的矩阵方法考虑数学物理问题是鲜为人知的，但笔者有幸知道，他60年代初期在中山大学讲学的一份讲义就是用矩阵的方法来处理狭义相对论的。狭义相对论的未来光锥就是第四类典型域的特征流形。从华罗庚获奖的书中知道，当n = 4时Bergman核函数可以写成1 / deg Z的若干次方的形式，是一个次调和函数。他的学生的学生周向宇解决“扩充未来光锥管域猜想”的证明中，重要的一步就是要构造一个在扩充未来光锥管域的次调和函数，上述函数就是。这一着如果不是华派的弟子是难以想到的。由于解决这一猜想，俄国科学院Steklov数学研究所授予周向宇俄国国家科学博士学位，这是有史以来中国人从俄国获得的第三个科学博士。 在上面提到的讲义中，华罗庚还曾用矩阵的方法处理Dirac算子，准备对Dirac算子的热核进行研究。我们知道，从70年代到今天，从指标定理到Seiberg—Witten方程，都与Dirac算子的研究有关，对数学与理论物理产生了巨大的影响�；薷乃枷胧浅暗摹� 撰稿人：中国科学院院士，数学与系统科学研究院研究员 陆启铿
华罗庚考虑典型域上方程△u = -λu的调和分析，其中△是Laplace—Beltrami算子。这首先要弄清楚λ= 0的情形，此时u称为调和函数。与通常的情况大不一样，典型域上的△是一个变系数的微分算子（后被称为华算子）。除了球体的情形外，给定典型域边界的一部分便有唯一的解，但任意给予整个边界值，解不一定存在。这是椭圆微分方程理论的一个重大发现。对于球体的情形，华罗庚也有重要的发现，就是△u = 0在球内是椭圆型，在球外是双曲型，在球面上是抛物型。这对混合型微分方程的研究，起了很大的推进作用。华罗庚的调和函数论不仅适用于典型域，而且适用于非紧的黎曼对称空间。这个理论是系统的、完整的，其成果总结在1959年《中国科学》国庆十周年特刊“典型域的调和函数论”（与陆启铿合作）长篇文章中，但基本的思想在他获奖的书中已经提出来了。此后，国内外不少人继续做推广工作�；薷芯慷嘣幢浜姆椒ǎ信ê竦闹泄厣�，在国外他和他的学生被称为华罗庚学派。 对于紧致的流形，△u = 0只有常数解。研究△u = -λu的解，首先要知道特征值λ可能是什么。这也是调和分析的问题，是60年代以后国际上最热门的问题之一。他的学生和学生的学生在这方面做过很好的工作。无怪乎丘成桐教授说，华罗庚的工作领先世界十年。 |
