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贾宪三角比帕斯卡三角要早600年！

贾宪，北宋人，他大约在1050年左右完成了《黄帝九章算经细草》一书，原书已遗失，但其中一个很重要的内容，关于求解“二项式展开系数表”的“贾宪三角”被杨辉抄录在他的《详解九章算法》著作中，因而这个知识才能流传下来。曾有人把它称为“杨辉三角”，但是杨辉在他的书中已经很明确地说明了此图是“出释锁算书，贾宪用此术”，所以人们才改称它为“贾宪三角”了。      
           

根据杨辉的摘录，贾宪的高次开方法是以一张称为“开方作法本源”的图为基础，现被称作“贾宪三角”。

贾宪的“开方作法本源图”见右图采自《永乐大典》，它是什么意思呢？它实际上是一张二项系数表，即（x+a）n（n =0,1,2,…,n）展开的各项系数。贾宪将左右斜线上的数字1分别称为“积数”和“隅算”，将这两行斜线数字中藏的数字称为“廉”，开几次方，就用相应行的廉；第三行为“二”是开平方的廉，第四行是开三次方的廉，第五行是开四次方的廉，等�！盎�、“隅”、“廉”都是沿用中国古代开方术语。
      

为了理解贾宪的增乘开方法，我们首先来看一看他是怎样获得“开方作法本源”图中的各廉数的。他在“增乘方求廉法草”中给出的求贾宪三角第七行各数的方法相当于如下程序：
1 1+5 = 6 第一位(上廉)
1 1+4 = 5 5+10 = 15 第二位(二廉)
1 1+3 = 4 4+6 = 10 10+10 = 20 第三位(三廉)
1 1+2 = 3 3+3 = 6 6+4 = 10 10+5 = 15 第四位(四廉)
1 1+1 = 2 2+1 = 3 3+1 = 4 4+1 = 5 5+1 = 6 第五位(下廉)
1 1 1 1 1 1 隅算     

就是说将隅算1自下而上增入前位,直到首位为止,就得第一位数字(上廉)；求其他各位数字，自下而上重复刚才的程序,每次低一位为止。这是一种随乘随加的过程,所以叫“增乘法”。贾宪发现,这种增乘法不仅可以用来求“开方作法本源”图中的各廉，而且可以被推广用来直接开方，这就是增乘开方法。

贾宪不仅给出了这个图，还给出了这个图的简捷制作规律。从第三行(（即2次幂）开始，两端最边上的数字都是1，而中间的任何一个数字都是这个数在上一行相邻两数的和。以第6行为例，所有中间的数字都可以如此求得，请看上面的示意图： 用这样的方法可以求出任意次幂的系数，直至无穷大。 

在贾宪之前，只能开平方与开立方，自从贾宪发明此表与“增乘开方法”后，就首次开辟了求解高次方程的真正通途。

在贾宪之后，我国数学家又进一步探索了系数中有负整数的方程解法，最终由南宋秦九韶发明的“正负开方法”彻底解决了这个问题，除了杨辉的书有这个贾宪三角形，另外一本元朝朱世杰1303年写的《四元玉鉴》，书中也有这个贾宪三角的图，并且计算到了二项式的八次方。

  西方人把这种二项式展开系数的规律表称之为“帕斯卡三角形”。比英国数学家霍纳1819年求得这一解法（西方称为“霍纳法”）要早五百多年。因此这个三角形应当是叫“贾宪三角”是当之无愧的。
1050年 贾宪 《黄帝九章算法细草》
1261年 杨辉 幸而杨辉在《详解九章算法》中记载了贾宪三角。
1299年 朱世杰 在《四元玉鉴》探讨了级数求和公式。
1427年 阿拉伯的阿尔.卡西 在他的《算术之钥》中已经给出了这样的表。
1527年 德国的阿皮纳斯 也提出了这种表。
1544年 德国的施蒂费尔  《综合算术》二项式展开式系数
1545年 法国的薛贝尔  　
1654年 法国数学家帕斯卡 在他出版的著作中给出了一个近似的三角形表。

　

从上表我们可以看到历史上，有许多人曾经研究过二项式展开系数，并且也都用表来表示系数的规律。1427年和1527年都有人使用过这个表，但是贾宪是第一个用三角图形来表示系数的规律，其他人的成果比贾宪晚了近400到500多年，他们的结果比杨辉和朱世杰都还要晚。