霍姆伯厄后来回忆道：“阿贝尔沉迷进数学，他以惊人的热忱和速度向这门科学进军。在短期内阿贝尔学了大部分的初级数学，在他的要求下，我私人教授他高等数学。过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书。他已经开始研究几门数学分支”。就这样，阿贝尔很快掌握了经典著作中最难懂的部分，包括高斯的《算术研究》。从那以后，真正的数学就不仅是他的严肃工作，而且成为他着迷的爱好。若干年后，有人问起他是怎样设法迅速地赶到前面去的，他回答：“靠学习大师们，而不是学习他们的学生”。 阿贝尔18岁的时候，父亲过早地去世了，照顾母亲、精神不正常的哥哥和五个弟妹的家庭重担落到了阿贝尔一人身上。在艰难困苦中，他坚持不断地工作。中学最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负非凡的冒险：解决一般五次方程的求解问题。这是一个已经困扰了数学界200多年的难题�？际彼晕约赫业搅饲蠼夤剑芸焖⑾肿约旱耐评碇写嬖诼┒�，这促使他走到了另一条道路。1824年．阿贝尔证明了一般五次方程及高于五次的方程不存在根式解。1825年，他将自己的论文寄给伟大的高斯，但高傲的高斯以为又是一位哗众取宠的年轻人的闹剧，于是在看都没看一眼的情况下就把阿贝尔的伟大成果抛到了一边。在这一不幸的事件中，受到损失的不单是阿贝尔而且还有整个数学。 1825年，在朋友们的帮助下，阿贝尔得到政府的资助使他能够到国外去拜访欧洲其他国家的著名数学家。然而，在这些已成名的数学家那里，阿贝尔没有得到多少有益的帮助。 唯一幸运的是在柏林他遇到了一位业余数学爱好者：克列尔。这是他一生中第二个对他的事业有极大帮助的人�？死锥�1826年创办了世界上第一个专门从事数学研究的定期刊物《纯数学与应用数学杂志》。阿贝尔在该杂志前三卷上共发表了22篇论文。论文的内容涉及广泛，包含了方程论、无穷级数、椭圆函数论等多方面的内容。这表明，阿贝尔在做出自己第一项伟大发现后不久，就将创造力转向了更广泛的问题。
1826年，他把自己一生最重要的杰作寄给法国科学院。这一杰作将会开辟研究椭圆函数的广阔领域，但负责审阅这一论文的柯西等人却完全忽略了这一伟大的发现。当它正式发表之时，已是1841年了。
1827年，由于未能找到合适的职位，阿贝尔返回祖国挪威。此后的生活变得更为悲惨。起初他没有找到任何固定的工作，只能以私人授课维持生计，“穷得就象教堂里的老鼠”。1828年他总算在一所大学里担任代课教师，但在这之前经常的贫困和伤心，把他的身体搞垮了。他得了肺结核病。1829年4月6日，他病死了，年仅26岁零八个月。一个极富数学才华的青年就这样不情愿地抛下自己热爱的科学，离开了这个世界。
在阿贝尔极其短暂的数学生涯中，他留下的是多方面的非凡贡献：他首次证明一般五次和高于五次的方程不存在根式解；他是椭圆函数论的奠基人之一，这一被后来人称为也许是19世纪最伟大的发现，“给数学家们留下了够他们忙上一百五十年的东西”（埃尔米特语）；他为无穷级数理论奠定严密的基�。凰蠼饬说谝桓龌址匠獭�
阿贝尔去世后两天，热心的克列尔寄来一封信说，他将被任命为柏林大学的数学教授。姗姗来迟的荣誉在阿贝尔死后终于降临了。作为对他多项成就的肯定，数学上以阿贝尔命名的术语、概念和定理就有几十个。为了纪念自己国家这位伟大的天才数学家，挪威在1902年时就有意设立一项阿贝尔奖，但因故未能实现。而今，在新世纪之初，阿贝尔诞辰200周年之际，这一设想终于变成了现实。 挪威诗人约恩松在纪念挪威数学家阿贝尔的诗中写道：
数的科学，像时间一样不知不觉地流逝。
融于永不消失的晨曦，是千变万化的数字，
她们，像雪一般纯，比空气更轻，
却强于整个世界，其值无价。
她们带来的是一片光彩。
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2002年为了纪念挪威天才数学家阿贝尔诞辰200周年，挪威财政部拨款２亿挪威克郎（约合2200万美元）设立了阿贝尔纪念基金，基金的收益将用于阿贝尔奖奖金、阿贝尔奖颁奖典礼和青少年数学教育活动。挪威政府设立这项奖金的宗旨在于提高数学在社会中的地位，同时激励青少年学习数学的兴趣。
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