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1887年他当选为法国科学院院士，1908年当选为法兰西学院院士。他还多次获得法国及其他国家的荣誉和奖励。
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主工作是创立自守函数理论（1878）。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。1883年，提出了一般的单值化定理（1907年他和P．克贝相互独立地给出完全的证明）。同年，他进而研究一般解析函数论，研究函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系。它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础之一。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、结点、中心）附近的性态。他提出根据解对极限环（他求出的一种特殊的封闭曲线）的关系，可以判定解的稳定性。
1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“体问题”奖，更加引庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖�；怪っ髁苏庵窒拗菩匀逦侍獾闹芷诮獾氖客车氖埔谎�。这以后，他进行了大量天体力研究。引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。他的成果总结在《天体力学的新方法》（3卷，1892～1899）和《天体力学讲义》中。他开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。
庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性（1890），这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明（1894）。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。
庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年发表第一篇论文，1895～1904年，他在文中建立了组合拓扑学。他引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重新重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉-庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。庞加莱的思想预示了德．拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想。在“庞加菜的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。
庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》（1901）开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔-豪斯多夫公式（1899）�；挂畲陌绱�，并对其基加以描述，证明了庞加莱-伯克霍夫-维特定理。
庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。
庞加菜的哲学著作《科学与假设》（1902）、《科学的价值》（1905）、《科学与方法》（1909）有着重大的影响。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事;其为依据，避开一切矛盾。
在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。他的论文约有500篇，大都收在《庞加莱全集》中。
（胡作玄）
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